Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+x+alnx（a∈R）．
（1）對a討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若x=x₀是f（x）的極值點，求證：f（x₀）≤

3

2

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解．
（2）利用條件x₀是函數(shù)f（x）的極值點，確定a的數(shù)值，然后證明f（x₀）≤

3

2

．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²+x+alnx，
∴x＞0，f′（x）=x+1+

a

x

=

x2+x+a

x

．
∴當a≥

1

4

時，f'（x）≥0在定義域恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當a＜

1

4

時，f'（x）=0時，x=

-1± 1-4a

2

，

-1+ 1-4a

2

≤0?a≥0，
∴0≤a＜

1

4

時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；

-1+ 1-4a

2

＞0?a＜0，
∴a＜0時，f（x）在（0，

-1+ 1-4a

2

）單調(diào)遞減，在（

-1+ 1-4a

2

，+∞）單調(diào)遞增．
綜上所述：當a≥0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當a＜0時，f（x）在（0，

-1+ 1-4a

2

）單調(diào)遞減，在（

-1+ 1-4a

2

，+∞）單調(diào)遞增．
（2）由（1）可知當a＜0時，f（x）在（0，

-1+ 1-4a

2

）單調(diào)遞減，在（

-1+ 1-4a

2

，+∞）單調(diào)遞增．
∴當x=

-1+ 1-4a

2

時，函數(shù)f（x）有極小值，∴x₀=

-1+ 1-4a

2

＞0，
∴

x

2 0

+x0+a=0⇒a=-

x

2 0

-x₀，
∴f（x₀）=

1

2

x

2 0

+x₀+alnx₀=

1

2

x

2 0

+x₀-（

x

2 0

+x₀）lnx₀，
記g（x）=

1

2

x²+x-（x²+x）lnx，則g′（x）=-（2x+1）lnx，
列表分析如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	增	極大值	減

∴g（x）_max=g（x）_極大值=g（1）=

3

2

，
∴f（x₀）≤

3

2

．

點評：本題的考點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極值問題．對于參數(shù)問題要注意進行分類討論．