Question

18．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為P，過(guò)P任作一條直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值
（2）設(shè)C為拋物線上位于第一象限的任意一點(diǎn)，過(guò)C作直線l與拋物線相切，求證：F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．

Answer 1

分析 （1）由已有可得直線AB過(guò)點(diǎn)P（-1，0）設(shè)直線AB的方程為：x=my-1，$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$、$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的定義，可得答案；
（2）設(shè)$C（\frac{{{y_0}^2}}{4}，{y_0}）$（y₀＞0），利用導(dǎo)數(shù)法，求出l的方程，解得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F為（1，0），
準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)P為（-1，0），
故直線AB過(guò)點(diǎn)P（-1，0）
∴設(shè)直線AB的方程為：x=my-1，$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$、$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4my+4=0，則y₁•y₂=4，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{{{y_1}^2}}{4}•\frac{{{y_2}^2}}{4}+{y_1}•{y_2}=5$
證明：（2）設(shè)$C（\frac{{{y_0}^2}}{4}，{y_0}）$（y₀＞0），
∵拋物線y²=4x在第一象限的方程可化為函數(shù)$y=2\sqrt{x}$，$y'=\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，
∴直線l的斜率為$\frac{2}{y_0}$，直線l的方程為：$y=\frac{2}{y_0}x+\frac{y_0}{2}$
過(guò)C點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D（-1，y₀），根據(jù)拋物線定義：|CF|=|CD|
線段DF的垂直平分線方程為：$y=\frac{2}{y_0}x+\frac{y_0}{2}$與直線l重合
∴F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．