Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a，b∈R有f（a+b）=f（a）f（b）．
（Ⅰ）求證：f（0）=1；
（Ⅱ）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（Ⅲ）證明：f（x）是R上的增函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令a=b=0，可求f（0）=1；
（Ⅱ）令a=x，b=-x，易求f（x）=

1

f(-x)

，由已知x＞0時，f（x）＞1＞0，當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（-x）＞0，f（0）=1，從而可證結(jié)論；
（Ⅲ）任取x₂＞x₁，依題意，可證

f(x2)

f(x1)

=f（x₂）f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞1，從而可證f（x）是R上的增函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）令a=b=0，則f（0）=[f（0）]²，
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1；          
（Ⅱ）令a=x，b=-x則 f（0）=f（x）f（-x）=1，
∴f（x）=

1

f(-x)

，
由已知x＞0時，f（x）＞1＞0，當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（-x）＞0，
∴f（x）=

1

f(-x)

＞0，
又x=0時，f（0）=1＞0
∴對任意x∈R，f（x）＞0；                     
（Ⅲ）在定義域R上任取自變量x₁，x₂，令x₂＞x₁，依題意知f（x₂）＞0，f（x₁）＞0，x₂-x₁＞0，
∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）•f（x₁）=f（x₂）f（-x₁）•f（x₁），
∴

f(x2)

f(x1)

=f（x₂）f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查轉(zhuǎn)化分析與推理證明的能力，屬于中檔題．