Question

設二次函數(shù)，對任意實數(shù)，有恒成立；數(shù)列滿足.

（1）求函數(shù)的解析式和值域；

（2）證明：當時，數(shù)列在該區(qū)間上是遞增數(shù)列；

（3）已知，是否存在非零整數(shù)，使得對任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)，值域為；（2）證明見解析；（3）存在，且．

【解析】

試題分析：（1）這是一個不等式恒成立問題，把不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，那么這一定是二次不等式，恒成立的條件是可解得，從而得到的解析式，其值域也易求得；（2）要證明數(shù)列在該區(qū)間上是遞增數(shù)列，即證，也即，根據(jù)的定義，可把化為關于的二次函數(shù)，再利用，可得結論；（3）這是一道存在性問題，解決問題的方法一般是假設存在符合題意的結論，本題中假設存在，使不等式成立，為了求出，一般要把不等式左邊的和求出來，這就要求我們要研究清楚第一項是什么？這個和是什么數(shù)列的和？由，從而，

，不妨設，則（），對這個遞推公式我們可以兩邊取對數(shù)把問題轉(zhuǎn)化為，這是數(shù)列的遞推公式，可以變?yōu)橐粋�等比數(shù)列，方法是上式可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030303281682819351/SYS201403030329027187123100_DA.files/image026.png">，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，其通項公式易求，反過來，可求得，從而求出不等式左邊的和，化簡不等式．

試題解析：（1）由恒成立等價于恒成立，

從而得：，化簡得，從而得，所以，

3分

其值域為.                                         4分

（2）解：  

6分

， 8分

從而得，即，所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列.     10分

（3）由（2）知，從而；

，即；

12分

令，則有且；

從而有，可得，所以數(shù)列是為首項，公比為的等比數(shù)列，

從而得，即，

所以 ，

所以，所以，

所以，

.

即，所以，恒成立.        15分

當為奇數(shù)時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為.        16分

當為偶數(shù)時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為.       17分

所以，對任意，有.又非零整數(shù)，       18分

考點：（1）二次不等式恒成立問題與函數(shù)的值域；（2）遞增數(shù)列；（3）遞推公式，的數(shù)列通項公式，等比數(shù)列的前項和．