Question

1．設(shè)a，b，c，d均是非負(fù)實(shí)數(shù)且滿足ab+bc+cd+da=1，求證：$\frac{{a}^{3}}{b+c+d}$+$\frac{^{3}}{a+c+d}$+$\frac{{c}^{3}}{a+b+d}$+$\frac{t5ldxl1^{3}}{a+b+c}$≥$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 通過(guò)權(quán)方和不等式及均值不等式可知左邊≥$\frac{1}{4}$•$\frac{（a+b+c+d）^{3}}{3（a+b+c+d）}$=$\frac{1}{12}$•[（a+c）+（b+d）]²，再利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 證明：由權(quán)方和不等式及均值不等式得：
左邊≥$\frac{1}{4}$•$\frac{（a+b+c+d）^{3}}{3（a+b+c+d）}$
=$\frac{1}{12}$•（a+b+c+d）²
=$\frac{1}{12}$•[（a+c）+（b+d）]²
≥$\frac{1}{12}$•$[2\sqrt{（a+c）（b+d）}]^{2}$
=$\frac{1}{3}$•（a+c）（b+d）
=$\frac{1}{3}•$（ab+bc+cd+da）
=$\frac{1}{3}$
=右邊，
即不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，利用權(quán)方和不等式、均值不等式及基本不等式是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．