Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，A為銳角，已知向量．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求實數(shù)m的值．
（2）若，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

解：（1）由∥得：1-2cos2A=2sincos，即，
所以，
又A為銳角，∴，，（3分）
而a²-c²=b²-mbc可以變形為
即，所以m=1；（6分）
（2）由（1）知：，，
又，
所以bc=b²+c²-a²≥2bc-a²即bc≤a²，（9分）
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時，△ABC面積的最大值是．（12分）
分析：（1）由向量平行時，向量的坐標對應(yīng)成比例得到一個關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，由sinA不為0，得到sinA的值，又A為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosA的值，利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可表示出cosA，由cosA的值列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）由（1）中求出的sinA和cosA的值，根據(jù)，解出bc，利用基本不等式求出bc的最大值，然后利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把bc的最大值及sinA的值代入即可求出三角形ABC面積的最大值．
點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換，余弦定理及三角形的面積公式，要求學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積的運算法則，二倍角正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及基本不等式．靈活利用基本不等式求出bc的最大值是第二問求三角形面積最大的關(guān)鍵．