Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+S_n=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列．

Answer 1

（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁=2a₁=2，則a₁=1．
又a_n+S_n=2，所以a_n+1+S_n+1=2，兩式相減得a_n+1=

1

2

a_n，
所以{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
所以a_n=

1

2n-1

．
（2）證明：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為a_p+1，a_q+1，a_r+1（p＜q＜r，且p，q，r∈N^*），則2•

1

2q

=

1

2p

+

1

2r

，所以2•2^r-q=2^r-p+1．①
又因?yàn)閜＜q＜r，所以r-q，r-p∈N^*．
所以①式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立，所以假設(shè)不成立，原命題得證．