Question

如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（I）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

解：（I）取BD的中點P，連接EP，F(xiàn)P，則PF，∵，∴EAPF，
∴四邊形AFPE是平行四邊形，∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥面BDE．
（Ⅱ）以CA，CD所在直線分別作為x軸，z軸，以過C點和AB平行的直線作為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由DC=AC=2AE=2，得A（2，0，0），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2），
則，，
∵面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，
AB⊥AC，∴AB⊥面ACDE，
∴是平面CDE的一個法向量，
設(shè)面BDE的一個法向量=（x，y，z），則，
∴，即，
整理，得，
令y=1，則z=2，x=1，∴是平面CDE的一個法向量，
故===，
由圖形知二面角B-DE-C的平面角，
所以二面角B-DE-C的余弦值為．
分析：（I）取BD的中點P，連接EP，F(xiàn)P，則PF，由，知四邊形AFPE是平行四邊形，由此能夠證明AF∥面BDE．
（Ⅱ）以CA，CD所在直線分別作為x軸，z軸，以過C點和AB平行的直線作為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由DC=AC=2AE=2，得A（2，0，0），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2），則，，，由面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AB⊥AC，知是平面CDE的一個法向量，由面BDE的一個法向量，能求出二面角B-DE-C的余弦值．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，二查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題上，合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．