Question

若函數(shù)f（x）=x³-3a²x+1的圖象與直線y=3只有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍    ．

Answer 1

【答案】分析：要使函數(shù)f（x）=x³-3a²x+1的圖象與直線y=3只有一個公共點，只需利用函數(shù)的最大值或最小值與3進行比較，由于實數(shù)a的值不確定，故要分類討論．
解答：解：求一階導(dǎo)數(shù)可得f'（x）=3x²-3a²，
兩個極值點分別在x=a、x=-a，
代入函數(shù)，得f（a）=-2a³+1，f（-a）=2a³+1，
當(dāng)a＞0時，f（a）＞3或f（-a）＜3，得出a＜1，
當(dāng)a＜0時，f（a）＜3或f（-a）＞3，得出a＞-1，
當(dāng)a=0時，顯然成立；
則實數(shù)a的取值范圍為：-1＜a＜1，
故答案為：（-1，1）．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力．