如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，．點M，N分別在邊AB和AC上（M點和B點不重合），將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鰽'MN，使頂點A'落在邊BC上（A'點和B點不重合）．設(shè)∠AMN=θ．
（1）用θ表示線段AM的長度，并寫出θ的取值范圍；
（2）在△AMN中，若，求線段A'N長度的最小值．

【答案】分析：（1）設(shè)MA=MA'=x，則MB=1-x，在Rt△MBA'中，利用三角函數(shù)可求；（2）求線段A'N長度的最小值，即求線段AN長度的最小值，再利用三角恒等變換化簡，從而求最值．
解答：解：（1）設(shè)MA=MA'=x，則MB=1-x．
在Rt△MBA'中，，
∴．
∵點M在線段AB上，M點和B點不重合，A'點和B點不重合，
∴45°＜θ＜90°．
（2）∵，
∴∠MAN=60°，在△AMN中∠ANM=120°-θ，，
=．
令
=
=．
∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°．
當且僅當2θ-30°=90°，θ=60°時，t有最大值，
∴θ=60°時，A'N有最小值．
點評：本題主要考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，從而利用三角函數(shù)中研究最值的方法解決最值問題，應(yīng)注意角的范圍的確定是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=
3
．點M，N分別在邊AB和AC 上（M點和B點不重合），將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鰽′MN，使頂點A′落在邊BC上（A′點和B點不重合）．設(shè)∠AMN=θ．
（1）用θ表示∠BA′M和線段AM的長度，并寫出θ的取值范圍；
（2）求線段AN長度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=
3
．點M，N分別在邊AB和AC上（M點和B點不重合），將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鰽'MN，使頂點A'落在邊BC上（A'點和B點不重合）．設(shè)∠AMN=θ．
（1）用θ表示線段AM的長度，并寫出θ的取值范圍；
（2）在△AMN中，若
AN
sin∠AMN
=
MA
sin∠ANM
，求線段A'N長度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題為選做題，請在下列三題中任選一題作答）
A（《幾何證明選講》選做題）．如圖：直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC為直徑的圓交邊AC于點D，AD=2，則∠C的大小為
30°
30°
．
B（《坐標系與參數(shù)方程選講》選做題）．已知直線的極坐標方程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，則點A（2，
7π
4
）到這條直線的距離為
2
2
2
2
．
C（不等式選講）不等式|x-1|+|x|＜3的解集是
（-1，2）
（-1，2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•咸陽三模）（考生注意：請在下列三道試題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A．（不等式選做題）若不等式|2a-1|≤ |x+
1
x
|對一切非零實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為
[-
1
2
，
3
2
]
[-
1
2
，
3
2
]
．
B．（幾何證明選做題）如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD=2，則∠C的大小為
30°
30°
．
C．（極坐標與參數(shù)方程選做題）若直線l的極坐標方程為ρcos(θ-
π
4
)=3
2
，圓C：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）上的點到直線l的距離為d，則d的最大值為
3
2
+1
3
2
+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB=2，D是AB的中點，M是CD上的動點．
（1）若M是CD的中點，求
MA
•
MB
的值；
（2）求(
MA
+
MB
)•
MC
的最小值．

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同步練習(xí)冊答案