Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= e﹣ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在x= 處的切線方程；
（2）討論方程f（x）﹣1=0根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）= e﹣2x．f（ ）=3e﹣1，

又f′（x）= e﹣2x，∴f′（ ）=2e﹣1，

故所求切線方程為y﹣3e﹣1=2e﹣1（x﹣ ），即y= x+

（2）解：方程f（x）﹣1=0即f（x）=1．

f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（1，+∞），

當(dāng)x＜﹣1或x＞1時(shí)，易知f（x）＜0，故方程f（x）=1無(wú)解；

故只需考慮﹣1≤x≤1的情況，

f′（x）= e﹣2x，

當(dāng)＜a≤2時(shí)，f′（x）≥0，所以f（x）區(qū)間[﹣1，1）上是增函數(shù)，又易知f（0）=1，

所以方程f（x）=1只有一個(gè)根0；

當(dāng)a＞2時(shí)，由f′（x）=0可得x=± ，且0＜ ＜1，

由f′（x）＞0可得﹣1≤x＜﹣ 或 ＜x＜1，

由f′（x）＜0可得﹣ ＜x＜ ，

所以f（x）單調(diào)增區(qū)間為[﹣1，﹣ ）和（ ，1）上是增函數(shù)，

f（x）單調(diào)減區(qū)間為（﹣ ， ），

由上可知f（ ）＜f（0）＜f（﹣ ），即f（ ）＜1＜f（﹣ ），

在區(qū)間（﹣ ， span> ）上f（x）單調(diào)遞減，且f（0）=1，

所以方程f（x）=1有唯一的根x=0；

在 區(qū)間[﹣1，﹣ ）上f（x）單調(diào)遞增，且f（﹣1）=0＜1，f（﹣ ）＞1，

所以方程f（x）=1存在唯一的根0

在區(qū)間（ ，1）上，由f（ ）＜1，x→1時(shí)，f（x）→+∞，

所以方程f（x）=1有唯一的根；

綜上所述：當(dāng)0＜a≤2時(shí)，方程f（x）=1有1個(gè)根；

當(dāng)a＞2時(shí)，方程f（x）=1有3個(gè)根

【解析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．（2）由f（x）﹣1=0得f（x）=1，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．