Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).

①求實數(shù)的值；

②當時，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題（1）先利用參變分離將不等式化為函數(shù)最值：的最大值，再利用導數(shù)求函數(shù)最值，即得實數(shù)的取值范圍；（2）①將單調(diào)性條件轉(zhuǎn)化為對恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)恒成立條件得不等式，解不等式可得實數(shù)的值；②先利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)值域，再結(jié)合圖像確定，根據(jù)圖像確定值域.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為.當，，，

∵恒成立，∴恒成立，即.

令，則 ，

令，得，∴在上單調(diào)遞增，

令，得，∴在上單調(diào)遞減，

∴當時，，∴.

（2）①當時，，.

由題意，對恒成立，

∴，∴，即實數(shù)的值為.

②函數(shù)的定義域為.

當，，時，.

，令，得.

	-		+
		極小值

∴當時，，當時，，當時，.

對于，當時，，當時，，當時，.

∴當時，，當時，，當時，.

故函數(shù)的值域為.