【題目】如圖,在半徑為 ,圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P,作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ,使點(diǎn)Q在OA上,點(diǎn)N,M在OB上,設(shè)矩形PNMQ的面積為y,∠POB=θ.

(1)將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)求矩形PNMQ的面積取得最大值時(shí) 的值;
(3)求矩形PNMQ的面積y≥ 的概率.

【答案】
(1)解:在Rt△PON中,∠PNO=90°,∠POB=θ,

所以 ,

在Rt△QMO中,∠QMO=90°,∠QON=60°,QM=PN=

所以O(shè)M=

所以:MN=ON﹣OM=

所以y=

即:y=3sinθcosθ﹣ sin2θ,(


(2)解:由(1)得y=3sinθcosθ﹣ sin2θ=

= )﹣ =

∵θ∈(0,

∴sin( )∈

,即 時(shí),y的最大值為

此時(shí)ON= cos = = ,則 =| || |cos = × =


(3)解:若矩形PNMQ的面積y≥ ,

sin( )≥ ,

則sin( )≥ ,

,

≤θ≤ ,

則對(duì)應(yīng)的概率P= =


【解析】(1)利用三角函數(shù)的關(guān)系,求出矩形的鄰邊,求出面積的表達(dá)式,化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,根據(jù)θ的范圍確定函數(shù)的定義域.(2)利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),結(jié)合三角函數(shù)的最值性質(zhì)求出矩形面積的最大值.以及利用向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可.(3)根據(jù)幾何概型的概率公式求出矩形PNMQ的面積y≥ 時(shí),對(duì)應(yīng)的角θ的取值范圍,即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了幾何概型的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握幾何概型的特點(diǎn):1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè);2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC
(1)求角B的大小;
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A.[ ,1]
B.[ ,1]
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D.[ , ]

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【題目】若是兩個(gè)相交平面,則在下列命題中,真命題的序號(hào)為 .(寫出所有真命題的序號(hào))

若直線,則在平面內(nèi),一定不存在與直線平行的直線.

若直線,則在平面內(nèi),一定存在無(wú)數(shù)條直線與直線垂直.

若直線,則在平面內(nèi),不一定存在與直線垂直的直線.

若直線,則在平面內(nèi),一定存在與直線垂直的直線.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C1的參數(shù)方程為: (α為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,并取與直角坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為:ρ=cosθ. (Ⅰ)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若P,Q分別是曲線C1和C2上的任意一點(diǎn),求|PQ|的最小值.

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1﹣x)f′(x)的圖像如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是(
A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)
B.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(1)
C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(﹣2)
D.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(2)

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【題目】 ,且|kb|=| kb|(k>0).

(Ⅰ)用k表示數(shù)量積;

(Ⅱ)求的最小值.

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2+ax﹣lnx(a∈R).
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(2)當(dāng)a>1時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意a∈(3,4)及任意x1 , x2∈[1,2],恒有 m+ln2>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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