Question

有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次是P（萬(wàn)元）和Q（萬(wàn)元），它們與投入資金x（萬(wàn)元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式：P=

x

5

，Q=

4

5

x

．今有5萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：設(shè)投入乙種商品投資x萬(wàn)元，則對(duì)甲種商品投資（5-x）萬(wàn)元，利用題中P與Q的關(guān)系，即可列出利潤(rùn)y與x之間的關(guān)系式y=

1

5

(5-x)+

4

5

x

，再利用換元法，令t=

x

，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可確定最值，從而求得答案．

解答：解：設(shè)對(duì)乙種商品投資x萬(wàn)元，則對(duì)甲種商品投資（5-x）萬(wàn)元，總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，
∴根據(jù)題意得，y=

1

5

(5-x)+

4

5

x

（0≤x≤5），
令t=

x

，
∴x=t²，且0≤t≤

5

，
∴y=

1

5

(5-t2)+

4

5

t=-

1

5

(t-2)2+

9

5

，（0≤t≤

5

）
∴當(dāng)t=2時(shí)，ymax=

9

5

，此時(shí)x=4，5-x=1，
∴為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品投資分別為1萬(wàn)元和4萬(wàn)元，獲得的最大利潤(rùn)為1.8萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題建立了數(shù)學(xué)模型后，運(yùn)用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題．屬于中檔題．