Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁C₁C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求證：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）若點D是線段BC的中點，請問在線段AB₁是否存在點E，使得DE∥面AA₁C₁C？若存在，請說明點E的位置，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）（本小問只理科學(xué)生做）求二面角C-A₁B₁-C₁的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）因為四邊形AA₁C₁C為正方形，所以AA₁⊥AC．因為平面ABC⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的性質(zhì)；
（Ⅱ）當(dāng)點E是線段AB₁的中點時，有DE∥平面AA₁C₁C．證明時連結(jié)A₁B交AB₁于點E，連結(jié)DE，利用線面平行的判定定理．
（Ⅲ）推理∠C₁A₁C是二面角C-A₁B₁-C₁的平面角．

解答： （本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）因為四邊形AA₁C₁C為正方形，所以AA₁⊥AC．
因為平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，
所以AA₁⊥平面ABC．…（4分）（文6分）
（Ⅱ）當(dāng)點E是線段AB₁的中點時，有DE∥平面AA₁C₁C．
證明：連結(jié)A₁B交AB₁于點E，連結(jié)DE．

因為點E是A₁B中點，點D是線段BC的中點，
所以DE∥A₁C．
又因為DE?平面AA₁C₁C，A₁C?平面AA₁C₁C，
所以DE∥平面AA₁C₁C．…（8分）（文12分）
（Ⅲ）因為AA₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥AB．
又因為AC⊥AB，所以AB⊥平面AA₁C₁C，
所以A₁B₁⊥平面AA₁C₁C，
所以A₁B₁⊥A₁C₁，A₁B₁⊥A₁C，
所以∠C₁A₁C是二面角C-A₁B₁-C₁的平面角．
易得tan∠C₁A₁C=

C1C

C1A1

=1，
所以二面角C-A₁B₁-C₁的平面角為45°．…（12分）

點評：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定，考查二面角的定義，解題時要認(rèn)真審題，注意空間中平行與垂直的合理運用．