Question

15．在直角坐標系xOy中，曲線C₁：x+y=4，曲線${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C₁，C₂的極坐標方程；
（2）若射線l：θ=α（p＞0）分別交C₁，C₂于A，B兩點，求$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁：x+y=4可得曲線C₁的極坐標方程；先將曲線C₂化為普通方程，進而可得曲線C₂的極坐標方程；
（2）設(shè)A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），-$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，則ρ₁=$\frac{4}{cosα+sinα}$，ρ₂=2cosα，則$\frac{|OB|}{|OA|}$=$\frac{ρ2}{ρ1}$，進而得到答案．

解答 解：（1）∵在直角坐標系xOy中，曲線C₁：x+y=4，
曲線C₁的極坐標方程為：ρ（cosθ+sinθ）=4，
C₂的普通方程為（x-1）²+y²=1，
所以曲線C₂的極坐標方程為：ρ=2cosθ．…（4分）
（2）設(shè)A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），-$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
則ρ₁=$\frac{4}{cosα+sinα}$，ρ₂=2cosα，…（6分）
$\frac{|OB|}{|OA|}$=$\frac{ρ2}{ρ1}$=$\frac{1}{4}$×2cosα（cosα+sinα）
=$\frac{1}{4}$（cos2α+sin2α+1）=$\frac{1}{4}$[$\sqrt{2}$cos（2α-$\frac{π}{4}$）+1]，…（8分）
當α=$\frac{π}{8}$時，$\frac{|OB|}{|OA|}$取得最大值$\frac{1}{4}$（$\sqrt{2}$+1）．…（10分）

點評 本題考查的知識點是直線與圓的極坐標方程，圓的參數(shù)方程，三角函數(shù)的最值，難度中檔．