精英家教網(wǎng)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點
(1)若F為AA1的中點,求證:EF∥面DD1C1C;
(2)若F為AA1的中點,求二面角A-EC-D1的余弦值.
分析:(1)欲證EF∥面DD1C1C,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與面DD1C1C內(nèi)一直線平行,連接A1B,根據(jù)中位線定理可知EF∥A1B,而A1B∥D1C則EF∥D1C,滿足定理所需條件;
(2)設二面角A-EC-D1的大小為θ,設正方體的棱長為2,求出梯形EFD1C與梯形ADCE的面積,根據(jù)面積射影法求出二面角的平面角的余弦值即可.
解答:解:
(1)證明:連接A1B;
∵E為AB的中點,F(xiàn)為AA1的中點,
∴EF∥A1B (2分)
又A1B∥D1C∴EF∥D1C
∴EF∥面DD1C1C
(2)設二面角A-EC-D1的大小為θ,設正方體的棱長為2,
由(1)知F,D1,C,E四點共面,且四邊形為等腰梯形,
S梯形EFD1C=
1
2
×
3
2
2
×3
2
=
9
2
,S梯形ADCE=
1
2
×2×3=3

cosθ=
S梯形ADCE
S梯形EFD1C
=
3
9
2
=
2
3
∴二面角A-EC-D1的余弦值為
2
3
點評:求二面角,關鍵是構造出二面角的平面角,常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角,然后再將其轉(zhuǎn)化為二面角的平面角,也可利用面積射影法求出二面角的平面角.
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