Question

（本題滿分14分）在數(shù)列中，，其中．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）證明存在，使得對(duì)任意均成立．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）解法一：，  ，

．由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立．

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，

那么．

這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何都成立．

解法二：由，，可得，

所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

（Ⅱ）解：設(shè)，　　　①

　　　　　　　　   ②

當(dāng)時(shí)，①式減去②式，

得，

．

這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．

當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．

（Ⅲ）證明：通過分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明：

．　　　�、�

由知，要使③式成立，只要，

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．

所以③式成立．

因此，存在，使得對(duì)任意均成立．

 

【解析】略