Question

設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點M（1，1），離心率e=，O為坐標(biāo)原點．
（I）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）若直線l是圓O：x²+y²=1的任意一條切線，且直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求證：•為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用離心率的計算公式、a、b、c的關(guān)系及點滿足橢圓的方程可得，解出即可；
（II）分切線的斜率存在與不存在討論，把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系及利用數(shù)量積即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得，解得，
∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）①當(dāng)圓O的切線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
則圓心O到直線l的距離，
∴1+k²=m²．
將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立，得到（1+3k²）x²+6kmx+3m²-4=0．
設(shè)直線l與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
則，．
∴=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=
=
=
=0，
②當(dāng)圓的切線l的斜率不存在時，驗證得．
綜合上述可得，為定值0．
點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立及根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法推理能力和計算能力．