如圖,DE把邊長(zhǎng)為2a的等邊△ABC分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上,設(shè)AD=x(x≥a),DE=y,
(1)試用x表示y;
(2)求DE的最小值.
分析:(1)由面積公式及已知DE把邊長(zhǎng)為2a的等邊△ABC分成面積相等的兩部分,可用x表示AE,在△ADE中,由余弦定理得到用x表示y;
(2)根據(jù)上述表達(dá)式,使用基本不等式即可求得y的最小值.
解答:解:(1)∵△ABC是邊長(zhǎng)為2a的等邊三角形,∴S△ABC=
1
2
×(2a)2×sin60°
,
S△ADE=
1
2
x×AE×sin60°
,且已知S△ADE=
1
2
S△ABC
,
1
2
x×AE×sin60°
=
1
2
×
1
2
×(2a)2×sin60°
,解得AE=
2a2
x

在△ADE中,由余弦定理得y2=x2+(
2a2
x
)2-2x×
2a2
x
×cos60°
,
y=
x2+
4a4
x2
-2a2
(a≤x≤2a).
(2)由基本不等式可得x2+
4a4
x2
≥2
x2×
4a4
x2
=4a2,當(dāng)且僅當(dāng)x=
2
a
時(shí)取等號(hào).
y≥
4a2-2a2
=
2
a
,即當(dāng)x=
2
a
時(shí),y的最小值是
2
a
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形的面積、余弦定理及基本不等式,充分理解以上知識(shí)是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,公園有一塊邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊角地,現(xiàn)修成草坪,圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上.
(1)設(shè)AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果DE是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?如果DE是參觀線(xiàn)路,則希望它最長(zhǎng),DE的位置又應(yīng)在哪里?請(qǐng)予證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,公園有一塊邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊角地,現(xiàn)修成草坪,圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上.
(1)設(shè)AD=x,ED=y,求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果DE是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)有一展館形狀是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC,DE把展館分成上下兩部分面積比為1:2(如圖所示),其中D在AB上,E在AC上.
(1)若D是AB中點(diǎn),求AE的值;
(2)設(shè)AD=x,ED=y.(。┣笥脁表示y的函數(shù)關(guān)系式;(ⅱ)若DE是消防水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?若DE是參觀線(xiàn)路,則希望它最長(zhǎng),DE的位置又應(yīng)在哪里?請(qǐng)給以說(shuō)明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(二)(解析版) 題型:解答題

如圖,公園有一塊邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊角地,現(xiàn)修成草坪,圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上.
(1)設(shè)AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果DE是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?如果DE是參觀線(xiàn)路,則希望它最長(zhǎng),DE的位置又應(yīng)在哪里?請(qǐng)予證明.

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