Question

已知函數(shù)f（x）=asinxcosx+sin（

π

2

-2x），若f（

π

8

）=

2

．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）f（

π

24

-x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，進而利用已知求得a，則函數(shù)的解析式可得，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得周期和最小值．
（Ⅱ）確定f（

π

24

-x）再利用整體法依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

2

sin2x+cos2x，
∵f（

π

8

）=

2

4

a+

2

2

=

2

，解得a=2，
∴f（x）=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∴T=

2π

2

=π，f（x）_min=-

2

．
（Ⅱ）f（

π

24

-x）=

2

sin[2（

π

24

-x）+

π

4

]=-

2

sin（2x-

π

3

），
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]．

點評：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角公式的應用以及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．