Question

【題目】已知函數(shù) ,其中 (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫(xiě)出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè),若函數(shù)對(duì)任意都成立,求的最大值.

Answer 1

【答案】(I)見(jiàn)解析 (II) .

【解析】試題分析: (I)求出,對(duì)和分別討論單調(diào)性,求出單調(diào)區(qū)間; (II)先對(duì)參數(shù)和時(shí)分別討論,利用特殊值檢驗(yàn)不能恒成立,在時(shí)，由函數(shù) 對(duì)任意 都成立，得,即, ,構(gòu)造關(guān)于a的新函數(shù),求導(dǎo)判斷單調(diào)性求出最大值,即的最大值.

試題解析:(I)因?yàn)?/span> ，

①當(dāng) 時(shí)， 在恒成立，函數(shù) 在上單調(diào)遞增；

②當(dāng) 時(shí)，由得 ，

所以當(dāng) 時(shí) ，此時(shí) 單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ；

單調(diào)遞減區(qū)間為 .

(II) 由(I)知，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增且 時(shí)， .

所以 不可能恒成立；

當(dāng) 時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)，由函數(shù) 對(duì)任意 都成立，得 .

因?yàn)?/span> ，

所以 .

所以 ，

設(shè)

所以，

由于 ，令 ，得.

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng))時(shí)， ， 單調(diào)遞減.

所以，即， 時(shí)， 的最大值為.