【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1).
(1)求證:函數(shù)f(x)有兩個不同的零點;
(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個不同的零點,求|x1﹣x2|的取值范圍;
(3)求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點.
【答案】(1)證明見解析(2).(3)證明見解析
【解析】
(1)通過計算一元二次方程的判別式可以證明出結(jié)論;
(2)利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系,可以得到|x1﹣x2|的表達式,再利用配方法求出取值范圍;
(3)根據(jù)零點存在原理,分類討論證明出結(jié)論.
(1)∵,
∴,∴
,
∴,
∵a>0,
∴△>0恒成立,
故函數(shù)f(x)有兩個不同的零點.
(2)由x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個不同的零點,
則x1,x2是方程f(x)=0的兩個根.
∴,
,
∴|x1﹣x2|.
∴|x1﹣x2|的取值范圍是.
(3)證明:∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,
由(1)知:3a+2b+2c=0,
∴f(2)=a﹣c.
(�。┊�(dāng)c>0時,有f(0)>0,又∵a>0,
∴,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點.
(ⅱ)當(dāng)c≤0時,f(2)=a﹣c>0,f(1)<0,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個零點.
綜上所述,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等腰直角中,
,
分別為
,
的中點,
,將
沿
折起,使得二面角
為
.
(1)作出平面和平面
的交線
,并說明理由;
(2)二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (
是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求證:
(2)若不等式在
上恒成立,求正數(shù)
的取值范圍.
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【題目】袋中共有8個乒乓球,其中有5個白球,3個紅球,這些乒乓球除顏色外完全相同.從袋中隨機取出一球,如果取出紅球,則把它放回袋中;如果取出白球,則該白球不再放回,并且另補一個紅球放入袋中,重復(fù)上述過程次后,袋中紅球的個數(shù)記為
.
(I)求隨機變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望
;
(Ⅱ)求隨機變量的數(shù)學(xué)期望
關(guān)于
的表達式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天干地支紀(jì)年法,源于中國,中國自古便有十天干與十二地支.十天干即:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配,排列起來,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年為“甲子”,第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”,…,以此類推.排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新開始,即“甲戌”,“乙亥”,之后地支回到“子”重新開始,即“丙子”,…,以此類推.已知2018年為戊戌年,那么到改革開放一百年,即2078年為__________年.
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【題目】某種植園在芒果臨近成熟時,隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質(zhì)量分別在,
,
,
,
,
(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.
(1) 經(jīng)計算估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為,
的芒果中隨機抽取
個,再從這
個中隨機抽取
個,求這
個芒果中恰有
個在
內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同一型號零件.記生產(chǎn)的零件的尺寸為(cm),相關(guān)行業(yè)質(zhì)檢部門規(guī)定:若
,則該零件為優(yōu)等品;若
,則該零件為中等品;其余零件為次品.現(xiàn)分別從甲、乙機床生產(chǎn)的零件中各隨機抽取50件,經(jīng)質(zhì)量檢測得到下表數(shù)據(jù):
尺寸 | ||||||
甲零件頻數(shù) | 2 | 3 | 20 | 20 | 4 | 1 |
乙零件頻數(shù) | 3 | 5 | 17 | 13 | 8 | 4 |
(Ⅰ)設(shè)生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤為:優(yōu)等品3元,中等品1元,次品虧本1元.若將頻率視為概率,試根據(jù)樣本估計總體的思想,估算甲機床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)對于這兩臺機床生產(chǎn)的零件,在排除其它因素影響的情況下,試根據(jù)樣本估計總體的思想,估計約有多大的把握認(rèn)為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關(guān)”,并說明理由.
參考公式:.
參考數(shù)據(jù):
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項和為
,數(shù)列
的前
項和為
,滿足
,
,
,且
.若存在
,使得
成立,則實數(shù)
的最小值為__________.
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