Question

如果函數(shù)g（x）滿足：對任意實數(shù)m，n均有g（mn+1）-g（m）g（n）=2-g（n）-m成立，那么稱g（x）是“次線性”函數(shù)．若“次線性”函數(shù)f（x）滿足f（0）=1，且兩正數(shù)x，y使得點（x²-1，3-2xy）在f（x）的圖象上，則log 

1

2

（x+y）-log₄x的最大值為

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先令令m=n=0，求出g（1）=2，再化簡log 

1

2

（x+y）-log₄x=-log2(x+y)

x

，求出（x+y）

x

的最小值即可．

解答： 解：令m=n=0，則g（1）-g（0）g（0）=2-g（0）-0成立，
∵函數(shù)f（x）滿足f（0）=1，即g（0）=1
∴g（1）=2
∵log 

1

2

（x+y）-log₄x=-log2(x+y)

x

∴l(xiāng)og 

1

2

（x+y）-log₄x的最大值，即（x+y）

x

取的最小值，
又∵兩正數(shù)x，y使得點（x²-1，3-2xy）在f（x）的圖象上，
當x²-1=0，3-2xy=1時，解x=y=1，（x+y）

x

=2
當x²-1=1，3-2xy=2時，解得x=

2

，y=

2

4

，（x+y）

x

=

5

2

∴l(xiāng)og 

1

2

（x+y）-log₄x=-log2(x+y)

x

≥-log₂2=-1
故答案為：-1

點評：本題考查了不等式的應用和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．