Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù).

（Ⅰ）若x=1是的極值點(diǎn)，求a的值：

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：.

Answer 1

e

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060206024961224382/SYS201506020602566093311573_DA/SYS201506020602566093311573_DA.002.png">.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060206024961224382/SYS201506020602566093311573_DA/SYS201506020602566093311573_DA.003.png">,

又x=1是的極值點(diǎn),所以，解得.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是的極值點(diǎn)，

所以a的值為e. ………5分

（Ⅱ）證明：

方法1：

當(dāng)時(shí)，.

所以.

若，則，所以，所以.

所以函數(shù)在單調(diào)遞減.

若，則，所以，所以.

所以函數(shù)在單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=1時(shí)，.

(時(shí)，;時(shí)，.)

所以.

方法2：

當(dāng)時(shí)，，

所以.

設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增.

又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞增.

（接下來表述同解法1相應(yīng)內(nèi)容）

所以.

考點(diǎn)：本題考查導(dǎo)函數(shù)求最值求極值