Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）用a表示f（2）、f（3）并化簡；
（Ⅱ）比較f（2）-2與f（1）-1，f（3）-3 與f（2）-2的大小關(guān)系，并由此歸納出一個更一般的結(jié)論（此結(jié)論不要求寫出證明過程）；
（Ⅲ）比較與，與的大小關(guān)系，并由此歸納出一個更一般的結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)函數(shù)f（x）的表達式直接把x=2，x=3代入計算即得．
（2）直接計算f（1）-1與f（2）-2、f（2）-2與f（3）-3，進行比較．比較大小可用做差比較法．
歸納一般的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性進行證明．
（3）利用基本不等式和做差比較法比較大小，歸納結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)進行證明．
解答：解：（Ⅰ），，…（2分）
（Ⅱ），，
一般地，f（n+1）-（n+1）＞f（n）-n（n∈N*）       …（6分）
（Ⅲ） ，所以…（7分）
判斷，證明如下：，（*）
因為a²+1＞2a＞0，，所以（*）式顯然成立，所以．…（9分）
一般地（n∈N*）               …（10分）
證明如下：

＞0，
此式顯然成立，
故（n∈N*）…（15分）
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．