Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（x_P，y_P）和點Q（x_Q，y_Q）滿足$\left\{\begin{array}{l}{x_Q}={x_P}+{y_P}\;\\{y_Q}=-{x_P}+{y_P}\;\end{array}$按此規(guī)則由點P得到點Q，稱為直角坐標(biāo)平面的一個“點變換”．在此變換下，若$\frac{{|\overrightarrow{OP}|}}{{|\overrightarrow{OQ}|}}$=m，向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$的夾角為θ，其中O為坐標(biāo)原點，則msinθ的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用兩點間的距離公式及已知的點變換公式，計算m的值，再利用向量夾角公式和點變換公式計算∠POQ=θ 的值，即可求出msinθ的值．

解答 解：依題意，（$\frac{{|\overrightarrow{OP}|}}{{|\overrightarrow{OQ}|}}$）²=$\frac{{{x}_{Q}}^{2}+{{y}_{Q}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}$=（$\frac{1}{m}$）²
∵$\left\{\begin{array}{l}{x_Q}={x_P}+{y_P}\;\\{y_Q}=-{x_P}+{y_P}\;\end{array}$
∴$\frac{（{x}_{P}+{y}_{P}）^{2}+（-{x}_{P}+{y}_{P}）^{2}}{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}$=（$\frac{1}{m}$^）2
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$•$\frac{{{x}_{Q}}^{2}+{{y}_{Q}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴θ=$\frac{π}{4}$，
∴msinθ=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題綜合考查了理解題意的能力，兩點間的距離公式，向量夾角公式，具有較強的代數(shù)變換能力是解決本題的關(guān)鍵．