Question

18．已知數(shù)列{x_n}的首項(xiàng)x₁，通項(xiàng)公式x_n=2ⁿp+np（n∈N⁺，p，q為常數(shù)），且x₁，x₄，x₅成等差數(shù)列，求：
（1）p，q的值；
（2）數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)的和S_n的公式．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）由x₁=3，得2p+q=3，
∵x₁，x₄，x₅成等差數(shù)列，
∴x₁+x₅=2x₄，
又${x_4}={2^4}p+4q$，${x_5}={2^5}p+5q$，
∴3+2⁵p+5q=2⁵p+8q，
解得q=1，
p=1，
∴p=q=1．
（2）由（1）得${x_n}={2^n}+n$，
$\begin{array}{l}{S_n}=（{2+1}）+（{{2^2}+2}）+（{{2^3}+3}）+…+（{{2^n}+n}）\\ \;\;\;\;=（2+{2^2}+…+{2^n}）+（1+2+…+n）\end{array}$
∴S_n=${2^{n+1}}-2+\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．