Question

設(shè)函數(shù)，且函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）試用a表示b；
（Ⅱ）當時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：當a=-3時，對?x₁，x₂∈[1，2]，都有．

Answer 1

解：（Ⅰ），
f'（x）=ax²-x+b，
∴f'（1）=a-1+b=0，
∴b=1-a．
（Ⅱ）f'（x）=ax²-x+1-a=（x-1）[ax-（1-a）]．
∵，
（1）當a=0時，f'（x）=1-x，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）當a≠0時，，
若，則，
由f'（x）＞0得，
∴或x＜1；
由f'（x）＜0得；
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1）和，遞減區(qū)間為．
若a＜0，則，
由f'（x）＞0得，
∴．
由f'（x）＜0得x＞1或，
∴f（x）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和（1，+∞）．
綜上所述，當時，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1）和，遞減區(qū)間為；
當a=0時，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和（1，+∞）．
（Ⅲ）當a=-3時，，
由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）在x∈[1，2]為減函數(shù)，
∴x∈[1，2]，，f（x）_min=f（2）=-1，
∴對?x₁，x₂∈[1，2]，，
即．
分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值為0，列出方程求出a，b的關(guān)系．
（II）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過對導(dǎo)函數(shù)的二次項系數(shù)的符號的討論及導(dǎo)函數(shù)的兩個根大小的討論，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（III）通過（II）得到f（x）當a=3時，函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）在[1，2]上的最大值及最小值，不等式得證．
點評：函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率；求函數(shù)的單調(diào)性，一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系，當導(dǎo)數(shù)大于0時，函數(shù)單調(diào)遞增；當導(dǎo)數(shù)小于0時，函數(shù)單調(diào)遞減；含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，一般需要討論．