Question

已知Sn={A|A=（a₁，a₂，a₃，…a_n）}a_i=0或1，i={1，2，••，n}（n≥2），對于U，V∈S_n，d（U，V）表示U和V中相對應的元素不同的個數．
（Ⅰ）如果U=（0，0，0，0），存在m個V∈S₄，使得d（U，V）=2，寫出m的值；
（Ⅱ）如果w=

0，0，0，…0

n個0

，U，V∈S_n，求證：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據V∈S₄，d（U，V）=2及d（U，V）的意義：表示U和V中相對應的元素不同的個數，可知m=C₄²；
（Ⅱ）根據a_i=0或1，i=1，2，••，n，分類討論a_i=0，b_i=0時，|a_i|+|b_i|=0=|a_i-b_i|；當a_i=0，b_i=1時，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|；當a_i=1，b_i=0時，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|； 當a_i=1，b_i=1時，|a_i|+|b_i|=2≥|a_i-b_i|=0，可證，|a_i|+|b_i|≥|a_i-b_i|，再相加即可證明結論；

解答：解：（Ⅰ）∵V∈S₄，d（U，V）=2，
∴C₄²=10，即m=6；
（Ⅱ）證明：令U=（a₁，a₂，a₃，…a_n），V=（b₁，b₂，b₃，…b_n）
∵a_i=0或1，b_i=0或1；
當a_i=0，b_i=0時，|a_i|+|b_i|=0=|a_i-b_i|
當a_i=0，b_i=1時，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|
當a_i=1，b_i=0時，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|
當a_i=1，b_i=1時，|a_i|+|b_i|=2≥|a_i-b_i|=0
故，|a_i|+|b_i|≥|a_i-b_i|
∴d（U，W）+d（V，W）=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+（b₁+b₂+b₃+…+b_n）
=（|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|）+（|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|）
≥|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|．

點評：此題是個難題．本題是綜合考查集合推理綜合的應用，這道題目的難點主要出現在讀題上，需要仔細分析，以找出解題的突破點．題目所給的條件其實包含兩個定義，第一個是關于S_n的，其實S_n中的元素就是一個n維的坐標，其中每個坐標值都是0或者1，也可以這樣理解，就是一個n位數字的數組，每個數字都只能是0和1，第二個定義d（U，V）．