Question

已知橢圓和兩點A（4，1），B（3，2），且橢圓右焦點與上頂點的連線平行于AB．
（Ⅰ）若橢圓經(jīng)過A點，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C與線段AB有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ），因為橢圓右焦點與上頂點的連線平行于AB，所以…（2分）
∴b=c，∴a²=b²+c²=2b²，故橢圓C可化簡為x²+2y²=a²…（4分）
又橢圓經(jīng)過A點，則a²=4²+2=18，故橢圓C的方程為…（6分）
（Ⅱ）∵A（4，1），B（3，2），
∴
∴線段AB所在直線方程為y=-x+5（3≤x≤4）…（7分）
由（Ⅰ）知橢圓C為x²+2y²=a²，
聯(lián)立，消去y并整理得：3x²-20x+50-a²=0…（&）
由于橢圓C與線段AB有公共點，即方程（&）在x∈[3，4]上有解
（&）式可變形為a²=3x²-20x+50，令g（x）=3x²-20x+50，x∈[3，4]
則只需a²在函數(shù)g（x）的值域之內(nèi)，∴，
故，．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用橢圓右焦點與上頂點的連線平行于AB，可得b=c，進而a²=b²+c²=2b²，利用橢圓經(jīng)過A點，可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）利用兩點式求線段AB所在直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)橢圓C與線段AB有公共點，可得方程在x∈[3，4]上有解，構(gòu)建函數(shù)g（x），轉(zhuǎn)化為只需a²在函數(shù)g（x）的值域之內(nèi)，從而可得結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查函數(shù)的值域，聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化為方程在x∈[3，4]上有解是關(guān)鍵．