Question

某同學對函數(shù)f（x）=xcosx進行研究后，得出以下結論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②對任意實數(shù)x，|f（x）|≤|x|恒成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
⑤當常數(shù)k滿足|k|＞1時，函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=kx有且只有一個公共點．
正確的命題的序號有

①②③⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，故①正確；根據(jù)余弦函數(shù)的值域，結合不等式的性質(zhì)，可以證出②正確；根據(jù)余弦函數(shù)的周期性，結合方程根的討論可得③正確而④不正確；最后根據(jù)余弦函數(shù)的值域，結合方程根的討論，可得⑤正確．

解答：解：對于①，因為f（-x）=-xcosx=-f（x），得函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象關于原點對稱，是中心對稱圖形，故①正確；
對于②，因為cosx∈[-1，1]，所以f（x）=xcosx≤|x|對任意實數(shù)x恒成立，故②正確；
對于③，令f（x）=xcosx=x，得x=2kπ（k∈Z），可得f（x）的圖象與y=x有無窮多個公共點，
且任意相鄰兩點的距離等于2π，故③正確；
對于④，令f（x）=xcosx=0，得x=0或x=

π

2

+kπ（k∈Z），可得f（x）的圖象雖與x軸有無窮多個公共點，
但相鄰交點的距離可能不相等，故④不正確；
對于⑤，令f（x）=kx，可得x=0或cosx=k，因為|k|＞1＞|cosx|，故方程cosx=k無實根，
故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點（0，0），故⑤正確．
故答案為：①②③⑤

點評：本題給出特殊的函數(shù)表達式，要求我們討論函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、方程根的討論和函數(shù)的奇偶性等知識，屬于基礎題．