如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB1=3a,D為A1C1的中點(diǎn)，E為B1C的中點(diǎn),

(1)求直線BE與A1C所成的角的余弦值.

(2)在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)以B為原點(diǎn), 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵AC=2a, ∠ABC=90°,

∴AB=BC=.

∴B(0, 0, 0), C(0,, 0), A(, 0, 0), A1(, 0, 3 a), C1(0,, 3 a), B1(0, 0, 3 a).

∴,.

∴,.

∴,.

∴.

∴.

(2)假設(shè)存在點(diǎn)F, 要使CF⊥平面B1DF, 只要且.

不妨設(shè)AF=b, 則F(, 0, b),=(,, b),=(, 0, b -3a),

, =(, 0, b -3 b),.

∵,

∴恒成立.

或b =2a, 故當(dāng)|或2a時(shí), CF⊥平?面B1DF.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為a，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求異面直線AB1與BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，則
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分別是A'B'、A'A的中點(diǎn)．
（1）求證：A'B⊥C'M；
（2）求異面直線BA'與CB'所成交的大��；
（3）（理）求BN與平面CNB'所稱的角的大��；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

（1）求證：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱錐B1—A1BC的體積；

（4）求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1與BC1所成的角;

(3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.

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