【題目】已知函數(shù)f(x)= (a>0)在其定義域上為奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并給出證明.
【答案】
(1)解:由f(﹣x)=﹣f(x)得 ,解得a=±1.
由因?yàn)閍>0,所以a=1
(2)解:函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),證明如下:
證法一:設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,易知 ,
則 .)
因?yàn)閤1<x2,所以 ,
所以f(x1)<f(x2),即f(x)是R上的增函數(shù)
證法二:∵ ,
∴ ,
∵f′(x)>0恒成立,
∴f(x)是R上的增函數(shù)
【解析】(1)由f(﹣x)=﹣f(x)得 ,解得a的值;(2)函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),證法一:設(shè)x1 , x2∈R,且x1<x2 , 作差比較f(x1),f(x2)的大小,利用函數(shù)單調(diào)性的定義,可得f(x)是R上的增函數(shù);
證法二:求導(dǎo),根據(jù)′(x)>0恒成立,可得:f(x)是R上的增函數(shù);
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí),掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較,以及對(duì)函數(shù)的奇偶性的理解,了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分16分)第1小題5分,第2小題5分,第3小題6分.
已知函數(shù),其中為常數(shù),且 .
(1) 若是奇函數(shù),求的取值集合;
(2) 當(dāng) 時(shí),設(shè)的反函數(shù)為,且函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于對(duì)稱,求的取值集合;
(3) 對(duì)于問題(1)(2)中的 ,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有兩個(gè)袋子,其中甲袋中裝有編號(hào)分別為1、2、3、4的4個(gè)完全相同的球,乙袋中裝有編號(hào)分別為2、4、6的3個(gè)完全相同的球.
(Ⅰ)從甲、乙袋子中各取一個(gè)球,求兩球編號(hào)之和小于8的概率;
(Ⅱ)從甲袋中取2個(gè)球,從乙袋中取一個(gè)球,求所取出的3個(gè)球中含有編號(hào)為2的球的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列函數(shù):①f(x)= ,g(x)=x+1;②f(x)=|x|,g(x)= ;③f(x)=x2﹣2x﹣1,g(t)=t2﹣2t﹣1.其中,是同一函數(shù)的是( )
A.①②③
B.①③
C.②③
D.②
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司在2014年上半年的收入x(單位:萬(wàn)元)與月支出y(單位:萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示:
月份 | 1月份 | 2月份 | 3月份 | 4月份 | 5月份 | 6月份 |
收入x | 12.3 | 14.5 | 15.0 | 17.0 | 19.8 | 20.6 |
支出Y | 5.63 | 5.75 | 5.82 | 5.89 | 6.11 | 6.18 |
根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,則( )
A.月收入的中位數(shù)是15,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系
B.月收入的中位數(shù)是17,x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系
C.月收入的中位數(shù)是16,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系
D.月收入的中位數(shù)是16,x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)計(jì)劃銷售某種產(chǎn)品,現(xiàn)邀請(qǐng)生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩個(gè)廠家進(jìn)場(chǎng)試銷10天,兩個(gè)廠家提供的返利方案如下:甲廠家每天固定返利70元,且每賣出一件產(chǎn)品廠家再返利2元;乙廠家無固定返利,賣出40件以內(nèi)(含40件)的產(chǎn)品,每件產(chǎn)品廠家返利4元,超出40件的部分每件返利6元.經(jīng)統(tǒng)計(jì),兩個(gè)廠家10天的試銷情況莖葉圖如下:
(Ⅰ)現(xiàn)從廠家試銷的10天中抽取兩天,求這兩天的銷售量都大于40的概率;
(Ⅱ)若將頻率視作概率,回答以下問題:
(。┯浺覐S家的日返利額為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(ⅱ)商場(chǎng)擬在甲、乙兩個(gè)廠家中選擇一家長(zhǎng)期銷售,如果僅從日返利額的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為商場(chǎng)做出選擇,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),又有f(3)=0,則f(x)>0的解集為 , xf(x)<0的解集為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= +x,x∈[3,5].
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并利用單調(diào)性定義證明;
(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AC是圓O的直徑,點(diǎn)B在圓O上, , 交于,
(1)證明: ;
(2) 求平面與所成的銳角二面角的余弦值.
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