【題目】如圖,已知橢圓的離心率是,一個頂點是.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設,是橢圓上異于點的任意兩點,且.試問:直線是否恒過一定點?若是,求出該定點的坐標;若不是,說明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)直線恒過定點
【解析】
試題分析:(Ⅰ)設橢圓C的半焦距為c.求出b利用離心率求出a,即可求解橢圓C的方程;(Ⅱ)證法一:直線PQ的斜率存在,設其方程為y=kx+m.將直線PQ的方程代入消去y,設 P,Q,利用韋達定理,通過BP⊥BQ,化簡求出,求出m,即可得到直線PQ恒過的定點.證法二:直線BP,BQ的斜率均存在,設直線BP的方程為y=kx+1,將直線BP的方程代入,消去y,解得x,設 P,轉(zhuǎn)化求出P的坐標,求出Q坐標,求出直線PQ的方程利用直線系方程求出定點坐標
試題解析:(Ⅰ)解:設橢圓的半焦距為.依題意,得,
且,
解得.
所以,橢圓的方程是.
(Ⅱ)證法一:易知,直線的斜率存在,設其方程為.
將直線的方程代入,
消去,整理得.
設,,
則,.(1)
因為,且直線的斜率均存在,
所以, 整理得.(2)
因為,,
所以,.(3)
將(3)代入(2),整理得
.(4)
將(1)代入(4),整理得.
解得,或(舍去).
所以,直線恒過定點.
證法二:直線的斜率均存在,設直線的方程為.
將直線的方程代入,消去,得
解得,或.
設,所以,,
所以.
以替換點坐標中的,可得.
從而,直線的方程是.
依題意,若直線過定點,則定點必定在軸上.
在上述方程中,令,解得.
所以,直線恒過定點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,.
當時,求的值;
當時,是否存在正整數(shù)n,r,使得、、,依次構(gòu)成等差數(shù)列?并說明理由;
當時,求的值用m表示.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設斜率不為0的直線與拋物線交于兩點,與橢圓交于兩點,記直線的斜率分別為.
(1)求證:的值與直線的斜率的大小無關;
(2)設拋物線的焦點為,若,求面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ x2﹣x+a(a∈R).
(1)當a=0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(。┣骯的取值范圍;
(ⅱ)設兩個極值點分別為x1 , x2 , 證明:x1x2>e2 .
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C1的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),曲線 C2的極坐標方程為ρcosθ﹣ ρsinθ﹣4=0.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線 C2的直角坐標方程;
(2)設P為曲線C1上一點,Q為曲線 C2上一點,求|PQ|的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣ ﹣ax(a∈R).
(1)當a= 時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知定義在(0, )上的函數(shù)f(x),f′(x)為其導函數(shù),且f(x)<f′(x)tanx恒成立,則( )
A. f( )> f( )
B. f( )<f( )??
C. f( )>f( )
D.f(1)<2f( )?sin1
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos4x+sin2x,下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.f(x)是偶函數(shù)
B.函f(x)最小值為
C. 是函f(x)的一個周期
D.函f(x)在(0, )內(nèi)是減函數(shù)
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