Question

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

1

2

，a₁₀=

1

1024

，前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)及S_n
（2）求{nS_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到q；然后求解通項(xiàng)公式及S_n
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到S_n，再利用“錯(cuò)位相減法”即可得到數(shù)列{nS_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：因?yàn)檎��?xiàng)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

1

2

，a₁₀=

1

1024

，
所以q=

1

2

．∴a_n=a₁q^n-1=

1

2n

，
S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
（2）由題意可知nS_n=n-

n

2n

，
{nS_n}的前n項(xiàng)和T_n．
∴T_n=（1+2+3+…+n）-（

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

）…①，

1

2

T_n=

1

2

（1+2+3+…+n）-（

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

）…②
①-②得：

1

2

T_n=

n(n+1)

4

-（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

）
=

n(n+1)

4

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2n+1

=

n(n+1)

4

-1+

n+2

2n+1

，
∴T_n=

n(n+1)

2

+

n+2

2n

-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”是解題的關(guān)鍵．