Question

【題目】橢圓 的左、右焦點分別為F1（﹣c，0）、F2（c，0），過橢圓中心的弦PQ滿足|PQ|=2，∠PF2Q=90°，且△PF2Q的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l不經(jīng)過點A（0，1），且與橢圓交于M，N兩點，若以MN為直徑的圓經(jīng)過點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∠PF2Q=90°平行四邊形PF1QF2為矩形，

|F1F2|=|PQ|=2c=1 ，

又PF1+PF2=2a，得a2=2，b2=1，

橢圓方程： …．

（Ⅱ）解：設(shè)直線l：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

則

…．

以MN為直徑的圓經(jīng)過點A，

3m2﹣2m﹣1=0…．

又直線不經(jīng)過A（0，1），所以m≠1， ，

直線l：y=kx﹣ ，

直線經(jīng)過定點 …

【解析】（1）由可得出四邊形為矩形，再根據(jù)橢圓定義，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達定理，可得直線方程,不難得出直線過定點.