Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x+3

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

3n

2

a_na_n+1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意知an+1=

an

an+3

，所以

1

an+1

=

3

an

+1，由此能求出an=

2

3n-1

．
（Ⅱ）b_n=

3n

2

a_na_n+1=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明S_n＜

1

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵函數(shù)f（x）=

x

x+3

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），
∴an+1=

an

an+3

，∴

1

an+1

=

3

an

+1，
∴

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，且

1

a1

+

1

2

=

3

2

，
∴數(shù)列{

1

an

+

1

2

}是以

3

2

為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴

1

an

+

1

2

=

3

2

•3n-1，
∴an=

2

3n-1

．
（Ⅱ）證明：b_n=

3n

2

a_na_n+1=

2•3n

(3n-1)(3n+1-1)

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，
∴S_n=

1

3-1

-

1

32-1

+…+

1

3n-1

-

1

3n+1-1

=

1

2

-

1

3n+1

＜

1

2

．
∴S_n＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．