Question

 已知拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓C：＝1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．

(1) 求拋物線D的方程；

(2) 過橢圓C右頂點(diǎn)A的直線l交拋物線D于M、N兩點(diǎn)．

① 若直線l的斜率為1，求MN的長；

② 是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1) 由題意，可設(shè)拋物線方程為y²＝2px(p>0)．由a²－b²＝4－3＝1，得c＝1，∴  拋物線的焦點(diǎn)為(1，0)，∴  p＝2.

∴  拋物線D的方程為y²＝4x.

(2) 設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

① 直線l的方程為y＝x－4，聯(lián)立整理得x²－12x＋16＝0，即M(6－2，2－2)，N(6＋2，2＋2)，　

∴  MN＝＝4.

② 設(shè)存在直線m：x＝a滿足題意，則圓心E，過E作直線x＝a的垂線，垂足為E′，設(shè)直線m與圓E的一個交點(diǎn)為G.可得|E′G|²＝|EG|²－|EE′|²，即|E′G|²＝|EA|²－|EE′|²＝＋a(x₁＋4)－a²＝x₁－4x₁＋a(x₁＋4)－a²＝(a－3)x₁＋4a－a².當(dāng)a＝3時，|E′G|²＝3，此時直線m被以AM為直徑的圓E所截得的弦長恒為定值2，因此存在直線m：x＝3滿足題意．