Question

．（本小題滿分12分）

    如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

   （1）求證：AO⊥平面BCD；

   （2）求二面角A—BC—D的余弦值；

   （3）求點O到平面ACD的距離．

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：（1）連接OC，

           ∵△ABD和△CBD為等邊三角形，O為BD的中點，

           ∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AB=2，AC=，

 ∴AO= CO=．…………………………3分

           在△AOC中，∵AO2+ CO2= AC2，

∴∠AOC=90o，即AO⊥OC．

           ∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．………………4分

          （2）過O作OE⊥BC于E，連接AE，∵AO⊥平面BCD，

           ∴AE在平面BCD上的射影為OE，∴AE⊥BC，

           ∴∠AEO為二面角A—BC—D的平面角．………………6分

           在Rt△AEO中，AO=，OE=，

tan∠AEO==2，cos∠AEO=，

           ∴二面角A—BC—D的余弦值為．……………………8分

         （3）設點O到平面ACD的距離為h．

∵VO—ACD= VA—OCD，∴S△ACD·h—=S△OCD·AO．

在△ACD中，AD= CD=2，AC=，  

S△ACD=·．

而AO=，S△OCD=，

∴，

∴點O到平面ACD的距離為．…………………………12分

解法二：（1）同解法一．……………………………………4分

       （2）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，

        則…………5分

        ∵AO⊥平面BCD，

∴平面BCD的法向量=（0，0，）…………6分

設平面ABC的法向量n=（x，y，z），

=（0，-1，-），=（，1，0）．

n·

n·

        由  n=（1，-，1）．

|n|·

n·

        設n與的夾角為，則|cos|==，

         ∴二面角A—BC—D的余弦值為．…………………………8分

       （3）設平面ACD的法向量m=（x，y，z），

|m|·

m·

        又與m的夾角為，則|cos|==．

        設點O到平面ACD的距離為h，

        ∵h=，

∴點O到平面ACD的距離為．…………………………12分

 

【解析】略