Question

【題目】如圖，在四面體中，， ．

（1）證明：；

（2）若，，四面體的體積為2，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】分析：（1）作Rt△斜邊上的高，連結(jié)，易證平面，從而得證；

（2）由四面體的體積為2，，得，所以平面，以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.

詳解：解法一：（1）如圖，作Rt△斜邊上的高，連結(jié)．

因?yàn)?/span>，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．

（2）在Rt△中，因?yàn)?/span>，，所以，， ，△的面積．因?yàn)?/span>平面，四面體的體積，所以，，，所以平面．

以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則， ，，，，，．

設(shè)是平面的法向量，則，即，可取．

設(shè)是平面的法向量，則，即，可取．

因?yàn)?/span>，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為

解法二：（1）因?yàn)?/span>，，所以Rt△≌Rt△．可得．

設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，，則，，所以平面，，于是．

（2）在Rt△中，因?yàn)?/span>，，所以△面積為．設(shè)到平面距離為，因?yàn)樗拿骟w的體積，所以．

在平面內(nèi)過(guò)作，垂足為，因?yàn)?/span>，，所以．由點(diǎn)到平面距離定義知平面．

因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，，所以，，所以，即二面角的余弦值為．