【題目】如圖,在四面體中,, .
(1)證明:;
(2)若,,四面體的體積為2,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】分析:(1)作Rt△斜邊上的高,連結(jié),易證平面,從而得證;
(2)由四面體的體積為2,,得,所以平面,以,,為,,軸建立空間直角坐標系,利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.
詳解:解法一:(1)如圖,作Rt△斜邊上的高,連結(jié).
因為,,所以Rt△≌Rt△.可得.所以平面,于是.
(2)在Rt△中,因為,,所以,, ,△的面積.因為平面,四面體的體積,所以,,,所以平面.
以,,為,,軸建立空間直角坐標系.則, ,,,,,.
設(shè)是平面的法向量,則,即,可取.
設(shè)是平面的法向量,則,即,可取.
因為,二面角的平面角為鈍角,所以二面角的余弦值為
解法二:(1)因為,,所以Rt△≌Rt△.可得.
設(shè)中點為,連結(jié),,則,,所以平面,,于是.
(2)在Rt△中,因為,,所以△面積為.設(shè)到平面距離為,因為四面體的體積,所以.
在平面內(nèi)過作,垂足為,因為,,所以.由點到平面距離定義知平面.
因為,所以.因為,,所以,,所以,即二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著國家二孩政策的全面放開,為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿,某機構(gòu)用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了位育齡婦女,結(jié)果如表.
非一線 | 一線 | 總計 | |
愿生 | |||
不愿生 | |||
總計 |
附表:
> | |||
由算得,參照附表,得到的正確結(jié)論是( )
A. 在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
B. 有以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
C. 在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
D. 有以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季取暖時減少能源消耗,業(yè)主決定對房屋的屋頂和外墻噴涂某種新型隔熱材料,該材料有效使用年限為20年.已知房屋外表噴一層這種隔熱材料的費用為每毫米厚6萬元,且每年的能源消耗費用(萬元)與隔熱層厚度(毫米)滿足關(guān)系:.設(shè)為隔熱層建造費用與年的能源消耗費用之和.
(1)請解釋的實際意義,并求的表達式;
(2)當隔熱層噴涂厚度為多少毫米時,業(yè)主所付的總費用最少?并求此時與不建隔熱層相比較,業(yè)主可節(jié)省多少錢?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點為M,
(1)求過點M且到點P(0,4)的距離為2的直線l的方程;
(2)求過點M且與直線l3:x+3y+1=0平行的直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學從中任取3道題解答.
(1)求張同學至少取到1道乙類題的概率;
(2)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設(shè)張同學答對甲類題的概率都是 ,答對每道乙類題的概率都是 ,且各題答對與否相互獨立.用X表示張同學答對題的個數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面斜坐標系中,,平面上任意一點關(guān)于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的:若(其中,分別為與軸,軸同方向的單位向量),則點的斜坐標為
(1)若點在斜坐標系中的坐標為,求點到原點的距離.
(2)求以原點為圓心且半徑為的圓在斜坐標系中的方程.
(3)在斜坐標系中,若直線交(2)中的圓于兩點,則當為何值時,的面積取得最大值?并求此最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C1的方程為x2+(y+1)2=4,圓C2的圓心坐標為(2,1).
(1)若圓C1與圓C2相交于A,B兩點,且|AB|=,求點C1到直線AB的距離;
(2)若圓C1與圓C2相內(nèi)切,求圓C2的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知圓的方程為,點的坐標為.
(1)求過點且與圓相切的直線方程;
(2)過點任作一條直線與圓交于不同兩點,,且圓交軸正半軸于點,求證:直線與的斜率之和為定值.
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