Question

已知函數(shù)f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R）．
（1）若曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，求實數(shù)a、b的值；
（2）當b=1時，若曲線f（x）與g（x）在公共點P處有相同的切線，求證：點P唯一；
（3）若a＞0，b=1，且曲線f（x）與g（x）總存在公切線，求正實數(shù)a的最小值．

Answer 1

解：（1），g'（x）=2ax-1．
∵曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，
∴，解得，．
（2）設P（x₀，y₀），則由題設有…①，
又在點P有共同的切線，∴，
代入①得 ，
設，則，則h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以 h（x）=0最多只有1個實根，
從而，結(jié)合（1）可知，滿足題設的點P只能是P（1，0）．
（3）當a＞0，b=1時，f（x）=lnx，，
曲線f（x）在點（t，lnt）處的切線方程為，即．
由，得 ．
∵曲線f（x）與g（x）總存在公切線，∴關于t（t＞0）的方程，
即（*）總有解．
若t＞e，則1-lnt＜0，而，顯然（*）不成立，所以 0＜t＜e，
從而，方程（*）可化為 ．
令（0＜t＜e），則．
∴當0＜t＜1時，h'（t）＜0；當1＜t＜e時，h'（t）＞0，即 h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，e）上單調(diào)遞增．
∴h（t）在（0，e）上的最小值為h（1）=4，
所以，要使方程（*）有解，只須4a≥4，即a≥1．
所以正實數(shù)a的最小值為1．
分析：（1）因為曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，所以，解出即可；
（2）設P（x₀，y₀），由題設得f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g（x₀），轉(zhuǎn)化為關于x₀的方程只有一解，進而構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點，利用導數(shù)即可證明；
（3）設曲線f（x）在點（t，lnt）處的切線方程為，則只需使該切線與g（x）相切即可，也即方程組只有一解即可，所以消y后△=0，問題轉(zhuǎn)化關于t的方程總有解，分情況借助導數(shù)進行討論即可求得a值；
點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程問題，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題能力，本題綜合性強，難度大．