Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點 （1，0）對稱．若對任意的x，y∈R，不等式 f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1）≤0恒成立，4x²+y²的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點 （1，0）對稱，可得函數(shù)是奇函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，可得y≥-2x+2，設t=4x²+y²，利用換元法，即可求4x²+y²的最小值．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點 （1，0）對稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關于點 （0，0）對稱，即函數(shù)是奇函數(shù)
∴不等式f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1）≤0等價于不等式f（x²+y-1）≤f（x²-2x+1）
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，
∴x²+y-1≥x²-2x+1，∴y≥-2x+2
設t=4x²+y²，則x=，y=sinα，∴sinα≥-cosα+2
∴sin（α+）≥2
∴≥2，∴t≥2
即4x²+y²的最小值是2
故選C．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的最值，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．