【題目】已知點(diǎn)P（ ，1）和橢圓C： + =1．
（1）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 試求△PF1F2的周長(zhǎng)及橢圓的離心率；
（2）若直線l： x﹣2y+m=0（m≠0）與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1 ， k2 ， 求證：k1+k2=0．

【答案】
（1）解：橢圓C： + =1的a=2，b= ，c= = ，

點(diǎn)P（ ，1）在橢圓C上，由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=2a=4，

△PF1F2的周長(zhǎng)為2a+2c=4+2 ；

橢圓的離心率為e= = ；


（2）證明：聯(lián)立直線 x﹣2y+m=0和橢圓x2+2y2=4，

可得4x2+2 mx+m2﹣8=0，

由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且直線不過(guò)點(diǎn)P，

可得△=8m2﹣4×4（m2﹣8）＞0，且m≠0，

解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=﹣ m，x1x2= ，

y1= ，y2= ，

則k1+k2= + = +

= + + = +

= + = ﹣ =0．


【解析】（1）求得橢圓的a，b，c，可得P在橢圓上，運(yùn)用橢圓的定義，即可得到△PF1F2的周長(zhǎng)和橢圓的離心率；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，可得x的二次方程，運(yùn)用判別式大于0，以及韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得證．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且△AF2B的面積為 ，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程．

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（1）求橢圓的離心率；
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②若關(guān)于x的方程 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≥2；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的充分不必要條件；
④若 的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位后為奇函數(shù)，則φ最小值是 ．
其中正確的結(jié)論是 ．

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（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)三角形AMN的面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

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