Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1=1（a＞b＞0），點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的焦點(diǎn)，∠F₁PF₂的外角平分線為l，點(diǎn)F₂關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)₂Q交l于點(diǎn)R．
（1）當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+

2

a）與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由于∠F₁PF₂的外角平分線為l，點(diǎn)F₂關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)₂Q交l于點(diǎn)R．所以|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a，即點(diǎn)Q的軌跡是圓，從而可求R形成的軌跡方程；
（2）先將△AOB的面積表示為S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sinAOB=

a2

2

sinAOB，從而當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，S_△AOB最大值為

1

2

a²．  
故可求k的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)F₂關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接PQ，∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|
又因?yàn)閘為∠F₁PF₂外角的平分線，故點(diǎn)F₁、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
|F₁Q|=|F₁P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a，則（x₁+c）²+y₁²=（2a）²．
又x₁=2x₀-c，y₁=2y₀．
∴（2x₀）²+（2y₀）²=（2a）²，∴x₀²+y₀²=a²．
故R的軌跡方程為：x²+y²=a²（y≠0）
（2）∵S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sinAOB=

a2

2

sinAOB
當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，S_△AOB最大值為

1

2

a²．  
此時(shí)弦心距|OC|=

2 ak

1+k2

．
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，

OC

OA

=  

2 ak

a 1+k2

=cos450=

2

2

，∴k=±

3

3

點(diǎn)評(píng)：若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）依賴已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)N而運(yùn)動(dòng)，則可將轉(zhuǎn)化后的動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)入已知曲線的方程或滿足的幾何條件，從而求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，此法稱為代入法，一般用于兩個(gè)或兩個(gè)以上動(dòng)點(diǎn)的情況．