Question

已知二次函數(shù)f（x）的二次系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為{x|1＜x＜3}．
（1）若函數(shù)y=f（x）+6a有且只有一個零點，求f（x）的解析式；
（2）記f（x）的最大值為h（a），求h（a）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意可得f（x）+2x=a（x-1）（x-3），a＜0．可得f（x）=ax²-（2+4a）x+3a．再根據(jù)判別式△=0，求得a的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由函數(shù)f（x）的解析式 可得h（a）=-a+

1

-a

-4，利用對勾函數(shù)的性質求得h（a）的最小值．

解答： 解：（1）由f（x）+2x＞0的解集為{x|1＜x＜3}知：
f（x）+2x=a（x-1）（x-3）（a＜0）．
則f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a①
又因為y=f（x）+6a有且只有一個零點，
即方程ax²-（2+4a）x+9a=0有兩個相等的實根，
于是△=[-（2+4a）]²-4a×9a=0，
即5a²-4a-1=0，
解得a=-

1

5

或a=1（舍），
將a=-

1

5

代入①式，得f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

．

（2）由①及a＜0知，f（x）的最大值h(a)=-

a2+4a+1

a

=-a-

1

a

-4．
又因為-a＞0，由對勾函數(shù)的性質，
得h(a)=-a-

1

a

-4≥2-4=-2，當且僅當a=-1時，等號成立．
故h（a）的最小值為-2．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質、對勾函數(shù)的圖象和性質的應用，屬于基礎題．