Question

（03年北京卷文）（15分）

如圖，A₁，A為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).

   （Ⅰ）寫(xiě)出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；

   （Ⅱ）過(guò)線段OA上異于O，A的任一點(diǎn)K作OA的垂線，交橢圓于P，P₁兩點(diǎn)，直線

         A₁P與AP₁交于點(diǎn)M.

   求證：點(diǎn)M在雙曲線上.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：由圖可知,

該橢圓的方程為

準(zhǔn)線方程為

（Ⅱ）證明：設(shè)K點(diǎn)坐標(biāo),點(diǎn)P、P₁的坐標(biāo)分別記為，

          其中則……① 直線A₁P，P₁A的方程分別為：

……② ……③

②式除以③式得化簡(jiǎn)上式得代入②式得

于是，直線A₁P與AP₁的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為

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所以，直線A₁P與AP₁的交點(diǎn)M在雙曲線.