Question

  已知函數(shù)，，，其中，且.

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的最大值；   

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（III）設函數(shù)若對任意給定的非零實數(shù)，存在非零實數(shù)（），使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

解：⑴當時， ∴

令，則， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴                                

⑵，，（）

∴當時，，∴函數(shù)的增區(qū)間為，

當時，，

當時，，函數(shù)是減函數(shù)；當時，，函數(shù)是增函數(shù)。

綜上得，當時，的增區(qū)間為； 

當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為                                 

⑶當，在上是減函數(shù)，此時的取值集合；

當時，，

若時，在上是增函數(shù)，此時的取值集合；

若時，在上是減函數(shù)，此時的取值集合。

對任意給定的非零實數(shù)，

①當時，∵在上是減函數(shù)，則在上不存在實數(shù)（），使得，則，要在上存在非零實數(shù)（），使得成立，必定有，∴；

②當時，在時是單調(diào)函數(shù)，則，要在上存在非零實數(shù)（），使得成立，必定有，∴。

綜上得，實數(shù)的取值范圍為。