Question

已知數(shù)列滿足：，其中.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）令，求數(shù)列的最大項(xiàng).

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）最大項(xiàng)為.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)已知等式，令，可得，再根據(jù)已知等式可得，將兩式相減，即可得到數(shù)列的一個(gè)遞推公式，只需驗(yàn)證將此遞推公式變形得到形如的形式，從可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）可得，從而，因此要求數(shù)列的最大項(xiàng)，可以通過(guò)利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性來(lái)求得： ，

當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，即，因此數(shù)列的最大項(xiàng)為.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，∴， 1分

又∵， 2分

∴，即，∴. 4分

又∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列； 6分

（2）由（1）知，，

∴， ∴ ， 8分

當(dāng)時(shí)，，即， 9分

當(dāng)時(shí)，， 10分

當(dāng)時(shí)，，即， 11分

∴數(shù)列的最大項(xiàng)為， 13分

考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)列的單調(diào)性判斷.