Question

如圖所示在△ABC中，sin²A+sin²C=sin²B+sinA．sinC
（1）求B的度數．
（2）設H為△ABC的垂心，且

BH

•

BC

=6求AC邊長的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理化簡已知的等式得到一個關系式，記作①，然后利用余弦定理表示出cosC，把①代入即可求出cosB的值，然后由C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）根據H為△ABC的垂心，把

BH

•

BC

=6轉化成

1

2

ac，然后利用b²=a²+c²-ac≥2ac-ac，求出b的最小值．

解答：解：（1）由sin²A+sin²C=sin²B+sinA．sinC，
利用正弦定理化簡得：a²+c²=b^2₊ac，①
則根據余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

∴cosB=

1

2

，由B∈（0，180°），
得到：B=60°；
（2）6=

BH

•

BC

=/

BH

/•/

BC

/•cos∠CBH=/

BD

/•/

BC

/=

1

2

/

AB

/•/

BC

/=

1

2

ac
∴ac=12
∴b²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=12
∴b_min=2

3

點評：本題考查了正弦定理、余弦定理以及求最值解決數學問題，解本題的關鍵是利用正弦定理化簡已知的等式，綜合性比較強，要求學生掌握知識全面．